SuaraSekitar Terkini Kumpulan Berita dan Informasi dari berbagai sumber yang terpercaya
Berikut adalah dua hal yang secara keliru saya yakini di berbagai titik dalam “kehidupan matematika dewasa” saya:
Untuk bidang $k$, kami memiliki persamaan bidang deret Laurent formal $k((x,y))=k((x))((y))$.
Perhatikan bahwa yang pertama adalah bidang pecahan dari ring deret pangkat formal $k ]$. Misalnya, untuk barisan ${a_n}$ elemen $k$, $sum_{n=1}^{infty} a_n x^{-n} y^n$ terletak di bidang kedua tetapi belum tentu yang pertama. [Originally I had $a_n=1$ for all $n$; quite a while after my original post, AS pointed out that that this actually does lie in the smaller field!] Saya pikir ini adalah kepercayaan keliru yang masuk akal, karena misalnya pernyataan analog untuk cincin polinomial, bidang fungsi rasional dan cincin deret pangkat formal adalah benar dan sangat sering digunakan. Tidak ada yang pernah memperingatkan saya bahwa seri Laurent formal berperilaku berbeda! [Ditambahkan kemudian: Saya baru saja menemukan bagian berikut di hal. 149 dari Lam Pengantar Bentuk Kuadrat di atas Bidang: “…bidang yang lebih besar $mathbb{R}((x)) ((y))$. (Ini adalah bidang deret Laurent yang diulang, jangan bingung dengan $mathbb{R}((x,y))$, yang biasanya diartikan sebagai bidang hasil bagi dari ring deret pangkat $mathbb{R} ]$.)” Jika hanya semua buku matematika ditulis oleh T.-Y. Lam…] Perhatikan bahwa, bahkan lebih dari contoh KConrad dari $mathbb {Q}_p^{operatorname{unr}}$ versus bidang pecahan dari ring vektor Witt $W(overline{mathbb{F}_p})$, menggabungkan kedua bidang ini kemungkinan besar akan mengacaukan Anda, karena mereka sebenarnya sangat berbeda (dan, khususnya, tidak secara elementer setara).Misalnya, bidang $mathbb{C}((x))((y))$ memiliki isomorfik grup Galois absolut ke $hat{mathbb{Z}}^2$ — maka setiap ekstensi hingga adalah abelian — sedangkan bidang $ mathbb{C}((x,y))$ adalah Hilbertian begitu juga misalnya ekstensi Galois terbatas dengan grup Galois $S_n$ untuk semua $n$ (dan
secara dugaanterbukti setiap grup hingga muncul sebagai grup Galois!) Dalam pekerjaan awal saya pada masalah indeks periode, saya benar-benar mencapai kontradiksi melalui kesalahan ini dan tetap di sana selama beberapa hari sampai Cathy O’Neil meluruskan saya.Setiap subgrup indeks hingga dari grup profinit terbuka. Ini Saya percaya sebagai postdoc, bahkan ketika secara eksplisit merenungkan apa yang mungkin merupakan contoh tandingan termudah, “grup Bernoulli” $mathbb{B}=prod_{i=1}^{infty} mathbb{Z}/2mathbb {Z}$. Memang, perhatikan bahwa ada banyak subgrup indeks $2$ — karena mereka berhubungan dengan elemen ruang ganda $mathbb{B}$ yang dilihat sebagai ruang vektor $mathbb{F}_2$, sedangkan subgrup terbuka harus memproyeksikan secara surjektif ke semua tetapi sangat banyak faktor, jadi tentu saja hanya ada banyak faktor seperti itu (dari semua dan semua indeks). Terima kasih kepada Hugo Chapdelaine karena telah meluruskan saya, dengan sabar dan gigih. Butuh beberapa saat untuk mendapatkannya. Sekali lagi, saya menyalahkan eksposisi standar karena tidak lebih eksplisit tentang ini. Jika Anda adalah siswa yang serius dari grup profinit, Anda akan tahu bahwa properti yang setiap subgrup indeks hingga terbuka adalah sangat penting, yang disebut sangat lengkap dan baru-baru ini terbukti bahwa setiap grup profinit yang dibangkitkan secara topologi sangat lengkap. (Ini juga muncul sebagai perbedaan antara dua jenis “penyelesaian profinite” yang berbeda: dalam kategori grup, atau dalam kategori grup topologi.) Selain itu , poin ini biasanya diabaikan dalam diskusi teori medan kelas lokal, di mana mereka membuat poin teorema bahwa setiap indeks hingga terbuka subgrup $K^{times}$ adalah citra norma dari ekstensi abelian berhingga, tetapi pertanyaan yang jelas apakah ini mencakup setiap subgrup indeks hingga biasanya tidak dibahas. Sebenarnya jawabannya adalah “ya” dalam karakteristik nol (memang bidang $p$-adic memiliki grup Galois absolut yang secara topologis menghasilkan grup Galois absolut) dan “tidak” dalam karakteristik positif (memang bidang seri Laurent tidak, bukan karena mereka biasanya memberi tahu Anda bahwa ). Saya ingin memilih catatan teori medan kelas J. Milne karena sangat jelas dan informatif dalam hal ini. Ini tentu pengecualian di sini.